Tlačiť

Piaty týždeň

Rád prvku, cyklické podgrupy, podgrupy a Lagrangeova veta

Úvod do témy

V tejto časti sa preberajú viaceré veľmi dôležité myšlienky z teórie grúp.

Najprv sa pracuje s pojmom rád prvku. To je číslo, ktoré hovorí, po koľkých opakovaniach daného prvku sa pri grupovej operácii dostaneme späť k jednotkovému prvku. Tento pojem je dôležitý preto, lebo z neho vieme vyčítať veľa informácií o správaní prvku aj o celej grupe.

Potom sa ukazuje, že z mocnín jedného prvku vzniká podgrupa. Takáto podgrupa sa nazýva cyklická podgrupa generovaná daným prvkom. Pri nej sa dajú veľmi pekne zostaviť Cayleyho tabuľky.

Ďalej sa zavádza pojem podgrupa a ukazujú sa základné spôsoby, ako dokázať, že istá množina je podgrupou. Objaví sa aj dôležitý príklad: množina všetkých prvkov, ktoré komutujú s pevným prvkom.

Napokon sa prejde k rozkladu grupy na triedy rozkladu vzhľadom na podgrupu. To vedie k Lagrangeovej vete, ktorá patrí medzi základné výsledky konečných grúp. Tá hovorí, že počet prvkov podgrupy musí deliť počet prvkov celej grupy.

V celej téme sa používa násobný zápis operácie. To znamená, že jednotkový prvok sa označuje \( e \), súčin prvkov sa píše ako \( ab \) a mocniny \( a \), \( a^2 \), \( a^3 \), \(\dots\) znamenajú opakované násobenie prvku \( a \) so sebou samým.

1. Rád prvku a dôsledky z rovností typu \( a^n = e \)

1.1 Čo znamená rád prvku

Nech \( G \) je grupa a \( a \) je jej prvok.

Jednoducho povedané: rád prvku hovorí, po koľkých násobeniach prvku \( a \) sebou samým sa prvýkrát dostaneme späť k jednotke \( e \).

Toto je veľmi dôležitý pojem. Keď poznáme rád prvku, vieme:

• ktoré mocniny prvku budú rovné \( e \),
• ktoré mocniny sa budú opakovať,
• koľko rôznych mocnín prvok vytvorí.

1.2 Ak platí viac rovností \( a^n = e \)

V tejto časti sa ukazuje, ako sa dá z viacerých rovností typu \( a^n = e \) využiť deliteľnosť rádu prvku.

1.3 Čo si z týchto príkladov treba odniesť

Tieto príklady ukazujú veľmi dôležitú myšlienku.

Ak sú tieto dve čísla navzájom nesúdeliteľné, teda ich najväčší spoločný deliteľ je \( 1 \), tak jediná možnosť je, že rád prvku je \( 1 \). Vtedy musí byť

To je veľmi užitočný spôsob, ako z dvoch rovností rýchlo dostať záver, že prvok je jednotka.

2. Mocniny prvku a cyklická podgrupa

2.1 Ak má prvok rád \( 5 \)

V tejto časti sa ukazuje, ako sa dajú vysoké mocniny zjednodušovať, keď poznáme rád prvku.

Predpokladajme, že

Potom platí

Toto je veľmi dôležité. Keď poznáme rád prvku, vieme vysoké exponenty zredukovať na menšie. Pri ráde \( 5 \) sa všetko opakuje po piatich krokoch.

2.2 Aké mocniny dostaneme

Ak \( \operatorname{rad} a = 5 \), tak rôzne mocniny prvku \( a \) sú:

Ďalej už nič nové nevzniká, lebo:

a tak ďalej.

Jej zmysel je jednoduchý: vezmeme jeden prvok a všetky jeho mocniny; tieto mocniny spolu vytvoria vlastnú podgrupu.

2.3 Cayleyho tabuľka pri ráde \( 5 \)

Pre cyklickú podgrupu

vyzerá násobenie takto:

• \( e \) je neutrálny prvok,
• \( a \cdot a = a^2 \),
• \( a \cdot a^2 = a^3 \),
• \( a \cdot a^3 = a^4 \),
• \( a \cdot a^4 = a^5 = e \),
• \( a^2 \cdot a^4 = a^6 = a \),
• a podobne.

Všetko sa teda riadi sčítaním exponentov, pričom po dosiahnutí \( 5 \) sa exponenty vracajú od začiatku, lebo \( a^5 = e \).

To je presne dôvod, prečo má Cayleyho tabuľka taký pravidelný, posunutý tvar.

2.4 Cayleyho tabuľka pri ráde \( 7 \)

Analogicky sa objavuje aj Cayleyho tabuľka pre prvok rádu \( 7 \).

Ak

tak prvky cyklickej podgrupy sú:

A opäť platí

Preto sa pri násobení exponenty sčítajú a výsledok sa redukuje podľa toho, že \( a^7 = e \).

Aj tu teda Cayleyho tabuľka vzniká úplne pravidelne.

2.5 Dôležitý dôsledok pre prvočíslo \( p \)

V tejto časti sa objavuje jednoduché, ale veľmi dôležité tvrdenie.

3. Podgrupa a základné kritériá

3.1 Čo je podgrupa

Máme grupu \( G \) a množinu \( H \subseteq G \).

V tejto súvislosti sa používajú tri základné podmienky.

Tieto tri podmienky hovoria presne toto:

• v množine \( H \) niečo je,
• \( H \) je uzavretá na grupovú operáciu,
• \( H \) je uzavretá aj na branie inverzov.

Ak toto platí, \( H \) je podgrupa.

3.2 Príklad: prvky, ktoré komutujú s pevným prvkom

Teraz vezmime grupu \( G \) a pevný prvok \( a \in G \).

To znamená, že do \( H \) patria presne tie prvky \( b \), ktoré s prvkom \( a \) komutujú.

Inak povedané: \( H \) je množina všetkých prvkov grupy, ktoré sa pri násobení s \( a \) môžu prehodiť.

Treba dokázať, že \( H \) je podgrupa grupy \( G \).

3.3 Prienik podgrúp je podgrupa

Toto tvrdenie je veľmi dôležitý a často používaný fakt.

4. Triedy rozkladu vzhľadom na podgrupu

4.1 Čo je ľavá trieda rozkladu

Nech \( H \) je podgrupa grupy \( G \) a \( a \in G \).

Intuitívne to znamená toto: vezmeme všetky prvky podgrupy \( H \) a všetky ich „posunieme“ zľava prvkom \( a \).

Tak vznikne nová množina \( aH \).

Táto množina nemusí byť podgrupou, ale je veľmi dôležitá, lebo práve pomocou takýchto množín sa grupa rozloží na kúsky rovnakej veľkosti.

4.2 Príklad v grupe \( \mathbb{Z}_{11}^{\ast} \)

V tejto časti sa pracuje s grupou \( \mathbb{Z}_{11}^{\ast} \). To je grupa všetkých nenulových tried modulo \( 11 \) so zvyškovým násobením.

Jej prvky sú:

4.2.1 Podgrupa \( H = \langle 4 \rangle \)

Najprv sa zoberie podgrupa generovaná prvkom \( 4 \).

Teraz vytvorme triedu rozkladu \( 2\langle 4 \rangle \).

Vypísané sú aj ďalšie triedy:

• \( 3\langle 4 \rangle = \langle 4 \rangle \), lebo \( 3 \in \langle 4 \rangle \),
• \( 4\langle 4 \rangle = \langle 4 \rangle \),
• \( 5\langle 4 \rangle = \langle 4 \rangle \),
• \( 9\langle 4 \rangle = \langle 4 \rangle \),
• \( 6\langle 4 \rangle = 2\langle 4 \rangle \),
• \( 7\langle 4 \rangle = 2\langle 4 \rangle \),
• \( 8\langle 4 \rangle = 2\langle 4 \rangle \),
• \( 10\langle 4 \rangle = 2\langle 4 \rangle \).

Takže v skutočnosti vzniknú iba dve rôzne triedy rozkladu:

A ich zjednotenie je celá grupa \( \mathbb{Z}_{11}^{\ast} \).

To veľmi pekne ukazuje, že triedy rozkladu sú buď rovnaké, alebo sa vôbec neprekrývajú.

4.2.2 Podgrupa \( H = \langle 10 \rangle \)

V druhom príklade sa berie podgrupa generovaná prvkom \( 10 \).

Jej triedy rozkladu sú:

A potom sa už len opakujú:

• \( 6\langle 10 \rangle = 5\langle 10 \rangle \),
• \( 7\langle 10 \rangle = 4\langle 10 \rangle \),
• \( 8\langle 10 \rangle = 3\langle 10 \rangle \),
• \( 9\langle 10 \rangle = 2\langle 10 \rangle \),
• \( 10\langle 10 \rangle = \langle 10 \rangle \).

Takže grupa \( \mathbb{Z}_{11}^{\ast} \) sa rozpadne na päť dvojprvkových tried rozkladu.

To je presne obraz toho, čo neskôr tvrdí Lagrangeova veta: počet prvkov podgrupy musí deliť počet prvkov grupy.

Tu má \( \langle 10 \rangle \) dva prvky a celá grupa \( \mathbb{Z}_{11}^{\ast} \) má desať prvkov. Naozaj:

5. Dve základné lemy o triedach rozkladu

5.1 Prvá lema: všetky triedy rozkladu majú rovnaký počet prvkov ako \( H \)

5.2 Druhá lema: ak sa dve triedy rozkladu pretínajú, tak sú rovnaké

Toto je jedno z najdôležitejších tvrdení v celej téme. Hovorí presne to, že dve triedy rozkladu nemôžu mať „trochu spoločné“. Buď sú úplne rovnaké, alebo sa vôbec nepretínajú.

5.3 Dôležitý záver

Z druhej lemy okamžite vyplýva nasledujúci záver.

To znamená:

• ak majú spoločný aspoň jeden prvok, sú celé rovnaké,
• ak nie sú rovnaké, nemajú spoločný ani jeden prvok.

Práve toto umožní rozložiť grupu na navzájom disjunktné kúsky.

6. Lagrangeova veta

6.1 Znenie vety

Tu:

• \( |H| \) znamená počet prvkov podgrupy \( H \),
• \( |G| \) znamená počet prvkov grupy \( G \).

Toto je základná veta o konečných grupách.

6.2 Prečo je to pravdivé

Treba si uvedomiť tri veci.

Prvá vec: každý prvok grupy patrí do nejakej triedy rozkladu.

Nech \( a \in G \).

Potom \( e \in H \), lebo \( H \) je podgrupa.

Preto:

A keďže \( e \in H \), dostávame:

Teda každý prvok grupy leží aspoň v jednej triede rozkladu.

Z toho vyplýva: zjednotenie všetkých tried rozkladu \( aH \) je celá grupa \( G \).

Druhá vec: rôzne triedy rozkladu sú disjunktné.

To už vieme z druhej lemy: ak sa dve triedy pretnú, musia byť rovnaké.

Takže keď vyberieme všetky rôzne triedy rozkladu, budú navzájom disjunktné.

Tretia vec: všetky triedy majú rovnaký počet prvkov.

To je obsah prvej lemy: každá trieda \( aH \) má presne \( |H| \) prvkov.

6.3 Dôkaz Lagrangeovej vety

7. Dôsledky Lagrangeovej vety

7.1 Dôsledok: pre každý prvok \( a \) platí \( a^{|G|} = e \)

Nech \( a \in G \).

Označme

Podgrupa \( \langle a \rangle \) je podgrupa grupy \( G \) a počet jej prvkov je práve \( \operatorname{rad} a \), teda \( r \).

Teraz počítame:

Teda naozaj:

To je veľmi silný dôsledok. Hovorí, že ak je grupa konečná, potom každému prvku po umocnení na počet prvkov celej grupy vyjde jednotka.

7.2 Dôsledok: grupa s prvočíselným počtom prvkov je cyklická

Nech

kde \( p \) je prvočíslo.

Vyberme ľubovoľný prvok \( a \in G \), pričom \( a \neq e \).

Pozrime sa na rád prvku \( a \).

To znamená, že podgrupa \( \langle a \rangle \) má \( p \) prvkov.

Lenže celá grupa \( G \) má tiež \( p \) prvkov.

Podgrupa \( \langle a \rangle \) má teda rovnako veľa prvkov ako \( G \), a preto musí byť

Teda \( G \) je cyklická.

Toto je veľmi pekný dôsledok: každá grupa s prvočíselným počtom prvkov je automaticky cyklická.

Záverečné zhrnutie

Najdôležitejšie myšlienky z tejto časti sú tieto.

Rád prvku \( a \) je najmenšie kladné číslo \( r \), pre ktoré

Ak vieme, že \( a^m = e \) a \( a^n = e \), tak \( \operatorname{rad} a \) delí \( m \) aj \( n \). Preto sa dá z deliteľnosti často zistiť, že \( a \) musí byť jednotkový prvok.

Z mocnín jedného prvku vzniká cyklická podgrupa \( \langle a \rangle \). Ak má \( a \) rád \( n \), tak \( \langle a \rangle \) obsahuje presne \( n \) prvkov a mocniny sa opakujú po \( n \) krokoch.

Na to, aby bola množina \( H \) podgrupou, stačí overiť:

• že nie je prázdna,
• že je uzavretá na súčin,
• že je uzavretá na inverzy.

Dôležité príklady sú:

• množina prvkov komutujúcich s pevným prvkom,
• prienik dvoch podgrúp.

Ak \( H \) je podgrupa a \( a \) je prvok grupy, množina

sa nazýva trieda rozkladu.

Všetky triedy rozkladu majú rovnaký počet prvkov ako \( H \). Ak sa dve triedy rozkladu pretnú, sú celé rovnaké.

Z týchto faktov vyplýva Lagrangeova veta: v konečnej grupe počet prvkov podgrupy delí počet prvkov celej grupy.

A z nej ďalej plynie:

• pre každý prvok \( a \in G \) platí \( a^{|G|} = e \),
• každá grupa s prvočíselným počtom prvkov je cyklická.

Zhrnutie viet a dôkazov

Toto je jedno z najdôležitejších tvrdení v celej téme. Hovorí presne to, že dve triedy rozkladu nemôžu mať „trochu spoločné“. Buď sú úplne rovnaké, alebo sa vôbec nepretínajú.