Neurčitý integrál

Neurčitý integrál je v podstate opačná operácia k derivovaniu. Pri derivácii poznáme funkciu \(F(x)\) a zisťujeme jej deriváciu \(f(x)\). Pri integrovaní poznáme \(f(x)\) a snažíme sa nájsť funkciu \(F(x)\), ktorej derivácia je práve \(f(x)\).

Schematicky:

\[ F(x)\xrightarrow{\text{derivovanie}}f(x) \]

a opačným smerom

\[ f(x)\xrightarrow{\text{integrovanie}}F(x)+C. \]

To \(+C\) bude veľmi dôležité.

Primitívna funkcia

Definícia: primitívna funkcia

Nech sú funkcie \(f(x)\) a \(F(x)\) definované na nejakom intervale \(I\).

Funkciu \(F(x)\) nazývame primitívnou funkciou k funkcii \(f(x)\) na intervale \(I\), ak pre každé \(x\in I\) platí

\[ F'(x)=f(x). \]

Čiže primitívna funkcia je jednoducho funkcia, ktorá sa po zderivovaní zmení na pôvodnú funkciu \(f\).

Príklady primitívnych funkcií

Napríklad

\[ F(x)=x^3. \]

Po derivovaní dostaneme

\[ F'(x)=3x^2. \]

Preto \(x^3\) je primitívnou funkciou k

\[ f(x)=3x^2. \]

Podobne

\[ F(x)=\tan x \]

je primitívna funkcia k

\[ f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}, \]

pretože

\[ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}. \]

Prečo záleží na intervale

Dôležité je, že primitívna funkcia sa vždy chápe na určitom intervale. Nie je to iba technická poznámka. Niektoré funkcie totiž nie sú definované na celej reálnej osi alebo majú rôzne správanie na rôznych intervaloch.

Prečo pridávame integračnú konštantu?

Predstavme si funkciu

\[ f(x)=3x^2. \]

Jedna primitívna funkcia je

\[ F(x)=x^3. \]

Ale rovnako dobre funguje

\[ G(x)=x^3+5, \]

pretože

\[ G'(x)=3x^2+0=3x^2. \]

Rovnako

\[ x^3-17, \]

\[ x^3+\pi, \]

\[ x^3+1000000 \]

majú všetky rovnakú deriváciu:

\[ 3x^2. \]

Dôvod je jednoduchý:

\[ C'=0. \]

Prečo pridávame +C

Derivovanie teda „zabudne“ informáciu o konštante.

Keď sa snažíme derivovanie obrátiť, už nemáme ako zistiť, aká konštanta tam pôvodne bola.

Preto integrál nemôže byť iba

\[ x^3. \]

Musíme napísať

\[ x^3+C, \qquad C\in\mathbb R. \]

Všetky primitívne funkcie sa líšia o konštantu

Veta 1: všetky primitívne funkcie

Nech \(F(x)\) je primitívna funkcia k \(f(x)\) na intervale \(I\).

Potom funkcia \(G(x)\) je tiež primitívnou funkciou k \(f(x)\) práve vtedy, keď existuje konštanta

\[ C\in\mathbb R \]

taká, že

\[ G(x)=F(x)+C. \]

Inými slovami:

Ak poznáme jednu primitívnu funkciu, poznáme vlastne všetky. Stačí k nej pripočítať ľubovoľnú konštantu.

Prečo to platí?

Ak sú \(F\) aj \(G\) primitívne funkcie k tej istej funkcii \(f\), potom

\[ F'(x)=f(x) \]

a zároveň

\[ G'(x)=f(x). \]

Odčítajme ich:

\[ G'(x)-F'(x)=0. \]

Teda

\[ (G(x)-F(x))'=0. \]

Funkcia, ktorej derivácia je na celom intervale nulová, musí byť konštantná.

Preto

\[ G(x)-F(x)=C \]

a teda

\[ G(x)=F(x)+C. \]

Geometrická predstava

Geometricky ide o rovnakú krivku posunutú nahor alebo nadol.

Napríklad

\[ x^2,\quad x^2+3,\quad x^2-10 \]

majú úplne rovnaký tvar. Iba ležia v rôznych výškach.

Ich derivácia je vo všetkých prípadoch

\[ 2x. \]

Existencia primitívnej funkcie

Veta 2: existencia primitívnej funkcie

Ak je funkcia \(f(x)\) spojitá na otvorenom intervale \(I\), potom na tomto intervale existuje primitívna funkcia.

To je veľmi dôležitá existenčná veta.

Hovorí:

Ak je funkcia dostatočne „slušná“, konkrétne spojitá, nemusíme sa báť, že hľadáme niečo, čo vôbec neexistuje.

Postačujúca podmienka

Pozor však na logiku tejto vety.

Hovorí:

\[ f\text{ spojitá}\quad\Rightarrow\quad f\text{ má primitívnu funkciu}. \]

Nehovorí opačný smer. Spojitosť je postačujúca podmienka, nie nevyhnutná podmienka.

Definícia neurčitého integrálu

Definícia: neurčitý integrál

Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii \(f(x)\) nazývame neurčitým integrálom funkcie \(f(x)\).

Zapisujeme

\[ \boxed{\int f(x)\,dx} \]

a ak je \(F(x)\) jedna primitívna funkcia k \(f(x)\), potom

\[ \boxed{\int f(x)\,dx=F(x)+C} \]

kde

\[ C\in\mathbb R. \]

Toto je presný význam neurčitého integrálu.

Neurčitý integrál je rodina funkcií

Veľmi dôležité je uvedomiť si, že

\[ \int f(x)\,dx \]

nie je v skutočnosti jedna jediná funkcia.

Je to celá rodina funkcií

\[ F(x)+C. \]

Čo znamenajú jednotlivé symboly?

Vo výraze

\[ \int f(x)\,dx \]

je

\[ \int \]

integračný znak,

\[ f(x) \]

je integrand, teda funkcia, ktorú integrujeme,

a

\[ dx \]

hovorí, že integrujeme podľa premennej \(x\).

Ako čítať integrál

Napríklad

\[ \int x^2\,dx \]

znamená:

Nájdime všetky funkcie, ktorých derivácia podľa \(x\) je \(x^2\).

Výsledkom je

\[ \frac{x^3}{3}+C, \]

pretože

\[ \left(\frac{x^3}{3}+C\right)' = x^2. \]

Súvislosť integrálu a derivácie

Ak

\[ F'(x)=f(x), \]

potom

\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C. \]

A keď výsledok integrálu zderivujeme, dostaneme späť integrand:

\[ \left(F(x)+C\right)'=f(x). \]

Preto môžeme symbolicky písať

\[ \boxed{\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)}. \]

Práve toto je veľmi dobrá kontrola vypočítaného integrálu.

Kontrola deriváciou

Keď dostaneš napríklad

\[ \int 3x^2\,dx=x^3+C, \]

stačí výsledok zderivovať:

\[ (x^3+C)'=3x^2. \]

Sedí, takže integrál je správne.

Integrál nie je pôvodný integrand

Pozor na zápis

\[ \int f(x)\,dx=f(x). \]

Takto to všeobecne neplatí. Správne je

\[ \int f(x)\,dx=F(x)+C, \]

pričom

\[ F'(x)=f(x). \]

Základné integračné vzorce

Tieto vzorce sú v podstate iba obrátené derivačné vzorce.

Mocninová funkcia

Pre

\[ a\neq -1 \]

platí

\[ \boxed{ \int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}+C } \]

Prečo?

Derivujme pravú stranu:

\[ \left(\frac{x^{a+1}}{a+1}\right)' = \frac{1}{a+1}(a+1)x^a = x^a. \]

Pri integrovaní mocniny teda:

exponent zvýšime o \(1\),
vydelíme novým exponentom.

Integrál mocniny

Napríklad

\[ \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}+C. \]

Výnimka: exponent −1

Výnimkou je

\[ a=-1, \]

pretože by sme dostali delenie nulou:

\[ a+1=0. \]

Preto má funkcia \(1/x\) samostatný vzorec.

Integrál \(1/x\)

\[ \boxed{ \int \frac1x\,dx = \ln|x|+C } \]

pretože

\[ (\ln|x|)'=\frac1x. \]

Prečo je v logaritme absolútna hodnota

Absolútna hodnota tam nie je ozdoba.

Funkcia \(1/x\) je definovaná aj pre záporné \(x\), zatiaľ čo obyčajné

\[ \ln x \]

je v reálnych číslach definované iba pre

\[ x>0. \]

Preto potrebujeme

\[ \ln|x|. \]

Exponenciálne funkcie

\[ \boxed{ \int e^x\,dx=e^x+C } \]

pretože \(e^x\) je špeciálna funkcia, ktorá sa deriváciou nemení:

\[ (e^x)'=e^x. \]

Pre všeobecný základ \(a\),

\[ a>0,\qquad a\neq1, \]

platí

\[ \boxed{ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C } \]

pretože

\[ (a^x)'=a^x\ln a. \]

Musíme teda vydeliť faktorom \(\ln a\).

Goniometrické integrály

Platí

\[ \boxed{ \int \sin x\,dx=-\cos x+C } \]

pretože

\[ (-\cos x)'=\sin x. \]

Ďalej

\[ \boxed{ \int \cos x\,dx=\sin x+C } \]

pretože

\[ (\sin x)'=\cos x. \]

Tiež

\[ \boxed{ \int\frac1{\cos^2x}\,dx=\tan x+C } \]

a

\[ \boxed{ \int\frac1{\sin^2x}\,dx=-\cot x+C. } \]

Integrály inverzných goniometrických funkcií

\[ \boxed{ \int\frac1{1+x^2}\,dx = \arctan x+C } \]

pretože

\[ (\arctan x)'=\frac1{1+x^2}. \]

A

\[ \boxed{ \int\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x+C. } \]

Rovnaký integrál môžeme zapísať aj ako

\[ -\arccos x+C, \]

pretože

\[ (\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}. \]

Dve podoby tej istej primitívnej funkcie

Tieto dve primitívne funkcie sa skutočne líšia iba konštantou, pretože

\[ \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2. \]

Takže

\[ -\arccos x = \arcsin x-\frac\pi2. \]

Rozdiel je iba konštanta, presne ako tvrdila veta 1.

Logaritmický integrál

Vzorec pre podiel derivácie a funkcie

Ak máme funkciu v tvare

\[ \frac{f'(x)}{f(x)}, \]

potom

\[ \boxed{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)|+C } \]

na intervaloch, kde \(f(x)\neq0\).

Dôvod je reťazové pravidlo:

\[ (\ln|f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}. \]

Integrál 2x/(x² + 1)

Napríklad

\[ \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx. \]

Menovateľ je

\[ x^2+1 \]

a jeho derivácia je

\[ 2x, \]

čo máme presne v čitateli.

Preto okamžite

\[ \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1)+C. \]

Tu absolútnu hodnotu ani nepotrebujeme, pretože

\[ x^2+1>0 \]

pre každé reálne \(x\).

Linearita neurčitého integrálu

Linearita

Integrál je lineárna operácia.

Ak majú funkcie

\[ f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x) \]

primitívne funkcie a

\[ c_1,c_2,\ldots,c_n\in\mathbb R, \]

potom

\[ \boxed{ \int \left( c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x) \right)\,dx } \]

sa môže rozdeliť na

\[ \boxed{ c_1\int f_1(x)\,dx + c_2\int f_2(x)\,dx +\cdots+ c_n\int f_n(x)\,dx. } \]

V jednoduchšej podobe:

\[ \int(f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx \]

a

\[ \int c f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx. \]

To je presne dôvod, prečo môžeme veľký súčet rozbiť na malé ľahké integrály.

Integračná konštanta pri linearite

Konštanty z jednotlivých členov sa napokon zlúčia do jedného spoločného \(C\). Pri koeficiente \(c=0\) je napríklad \(\int 0\,dx=C\); zápis \(0\int f(x)\,dx\) preto nemožno chápať ako doslovnú rovnosť množín funkcií.

Prečo linearita funguje?

Nech

\[ F_1'(x)=f_1(x) \]

a

\[ F_2'(x)=f_2(x). \]

Potom

\[ (c_1F_1(x)+c_2F_2(x))' \]

je podľa pravidiel derivovania

\[ c_1F_1'(x)+c_2F_2'(x). \]

Dosadíme

\[ F_1'=f_1,\qquad F_2'=f_2 \]

a dostaneme

\[ c_1f_1(x)+c_2f_2(x). \]

Teda

\[ c_1F_1+c_2F_2 \]

je primitívna funkcia k

\[ c_1f_1+c_2f_2. \]

Celá veta je teda v podstate dôsledkom linearity derivácie.

Príklad: rozklad integrálu pomocou linearity

Integrál súčtu štyroch členov

Vezmime integrál

\[ \int \left( 5x^4+3+\frac{\sqrt[3]{x}}2+\frac2x \right)\,dx. \]

Prvý krok je prepísať všetko do tvaru, ktorý poznáme:

\[ \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. \]

Takže

\[ \int \left( 5x^4+3+\frac12x^{1/3}+\frac2x \right)\,dx. \]

Použijeme linearitu:

\[ 5\int x^4\,dx + 3\int1\,dx + \frac12\int x^{1/3}\,dx + 2\int\frac1x\,dx. \]

Teraz už riešime štyri základné integrály.

Prvý:

\[ \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5}. \]

Po vynásobení päťkou:

\[ 5\frac{x^5}{5}=x^5. \]

Druhý:

\[ \int1\,dx=x, \]

takže

\[ 3\int1\,dx=3x. \]

Tretí:

\[ \int x^{1/3}\,dx. \]

Exponent zvýšime o jednotku:

\[ \frac13+1=\frac43. \]

A vydelíme novým exponentom:

\[ \int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3}. \]

Delenie zlomkom znamená násobenie prevrátenou hodnotou:

\[ \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac34x^{4/3}. \]

Pred integrálom však máme ešte \(1/2\):

\[ \frac12\cdot\frac34x^{4/3} = \frac38x^{4/3}. \]

Posledný člen:

\[ 2\int\frac1x\,dx = 2\ln|x|. \]

Výsledok teda je

\[ \boxed{ x^5+3x+\frac38x^{4/3}+2\ln|x|+C. } \]

A keby sme si neboli istí, jednoducho výsledok zderivujeme.

Substitučná metóda

Substitúcia je jedna z najdôležitejších metód integrácie.

Je to v zásade obrátené reťazové pravidlo derivovania.

Pri derivovaní zloženej funkcie máme

\[ (F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x). \]

Ak označíme

\[ F'=f, \]

dostaneme

\[ (F(g(x)))' = f(g(x))g'(x). \]

A teraz to prečítame opačným smerom:

\[ \boxed{ \int f(g(x))g'(x)\,dx = F(g(x))+C. } \]

To je základ substitučnej metódy.

Prvá substitučná veta

Predstavme si integrál

\[ \int f(g(x))g'(x)\,dx. \]

Položíme

\[ t=g(x). \]

Potom diferenciálne píšeme

\[ dt=g'(x)\,dx. \]

Integrál sa zmení na

\[ \int f(t)\,dt. \]

Ak je \(F\) primitívna funkcia k \(f\), potom

\[ \int f(t)\,dt=F(t)+C. \]

Nakoniec sa vrátime späť:

\[ t=g(x), \]

takže

\[ \boxed{ F(g(x))+C. } \]

Čo substitúcia vlastne robí?

Máme komplikovaný výraz obsahujúci nejakú vnútornú funkciu.

Napríklad

\[ (x^3+1)^2. \]

Tá vnútorná časť

\[ x^3+1 \]

sa opakuje ako jeden celok.

Povieme si:

\[ t=x^3+1. \]

Tým z nej spravíme novú jednoduchú premennú.

Vnútorná funkcia aj jej derivácia

Ale keď meníme \(x\) na \(t\), musíme zmeniť aj diferenciál \(dx\).

Derivujeme:

\[ t=x^3+1 \]

\[ \frac{dt}{dx}=3x^2. \]

Teda

\[ dt=3x^2\,dx. \]

A práve preto v integrále veľmi často hľadáme vnútornú funkciu spolu s jej deriváciou.

Príklad: priama substitúcia

Substitúcia t = x³ + 1

Vezmime

\[ \int 3x^2(x^3+1)^2\,dx. \]

Na prvý pohľad to vyzerá nepríjemne. Mohli by sme druhú mocninu roznásobiť, ale substitúcia je oveľa prirodzenejšia.

Vnútorná funkcia je

\[ x^3+1. \]

Položíme

\[ t=x^3+1. \]

Zderivujeme:

\[ dt=3x^2\,dx. \]

A presne výraz

\[ 3x^2\,dx \]

sa nachádza v integrále.

Preto celý integrál

\[ \int 3x^2(x^3+1)^2\,dx \]

prejde na

\[ \int t^2\,dt. \]

A toto už je základný integrál:

\[ \int t^2\,dt = \frac{t^3}{3}+C. \]

Teraz vrátime

\[ t=x^3+1. \]

Dostaneme

\[ \boxed{ \frac{(x^3+1)^3}{3}+C. } \]

Kontrola deriváciou:

\[ \left( \frac{(x^3+1)^3}{3} \right)'. \]

Použijeme reťazové pravidlo:

\[ \frac13\cdot3(x^3+1)^2\cdot3x^2. \]

Prvá trojka sa skráti s \(1/3\):

\[ 3x^2(x^3+1)^2. \]

Dostali sme presne pôvodný integrand.

A toto krásne ukazuje, že substitúcia pri integráli je naozaj obrátené reťazové pravidlo.

Ako spoznať substitúciu

Vnútorná funkcia a jej derivácia

Veľmi často má integrál približný tvar

\[ f(g(x))\cdot g'(x). \]

Teda:

niekde vidíš zložitejší výraz \(g(x)\),
a niekde vedľa neho je jeho derivácia \(g'(x)\), prípadne sa od nej líši iba konštantou.

Ako vybrať substitúciu

Napríklad

\[ \int \frac{2x}{x^2+5}\,dx. \]

Vnútorná funkcia:

\[ g(x)=x^2+5. \]

Jej derivácia:

\[ g'(x)=2x. \]

Máme ju presne v čitateli.

Preto

\[ t=x^2+5, \qquad dt=2x\,dx \]

a dostávame

\[ \int\frac1t\,dt = \ln|t|+C. \]

Po návrate:

\[ \boxed{ \ln(x^2+5)+C. } \]

Keď derivácia nesedí presne

Doplnenie chýbajúcej konštanty

Nemusí tam byť úplne presne.

Napríklad

\[ \int x(3x^2-2)^{-2/3}\,dx. \]

Vnútorná funkcia je

\[ t=3x^2-2. \]

Jej derivácia je

\[ dt=6x\,dx. \]

V integrále však máme iba

\[ x\,dx. \]

Zo vzťahu

\[ dt=6x\,dx \]

dostaneme

\[ x\,dx=\frac16dt. \]

Takže

\[ \int x(3x^2-2)^{-2/3}\,dx = \frac16\int t^{-2/3}\,dt. \]

Teraz použijeme mocninový vzorec:

\[ \frac16\cdot \frac{t^{1/3}}{1/3}+C. \]

Keďže

\[ \frac1{1/3}=3, \]

dostaneme

\[ \frac12t^{1/3}+C. \]

A po návrate

\[ \boxed{ \frac12(3x^2-2)^{1/3}+C. } \]

Druhá substitučná veta

Existuje aj opačný spôsob substitúcie.

Namiesto

\[ t=g(x) \]

zavedieme

\[ x=\varphi(t). \]

Potom

\[ dx=\varphi'(t)\,dt. \]

A teda

\[ \boxed{ \int f(x)\,dx = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt. } \]

Tento variant je užitočný hlavne vtedy, keď vieme nepríjemný výraz v \(x\) zjednodušiť vhodným vyjadrením

\[ x=\varphi(t). \]

Je to tá istá myšlienka ako prvá substitúcia, len sa na zmenu premennej pozeráme z opačnej strany.

Podmienka spätnej substitúcie

Formálne sa pri tejto verzii vyžaduje, aby bola použitá funkcia vhodne invertovateľná, teda aby sme sa vedeli medzi \(x\) a \(t\) jednoznačne vracať.

Prečo sa pri substitúcii mení aj \(dx\)?

Pri substitúcii treba zmeniť aj diferenciál

Toto býva častý zdroj zmätku.

Keď napíšeme

\[ t=g(x), \]

nemôžeme potom v integrále iba mechanicky nahradiť všetky \(g(x)\) za \(t\) a nechať

\[ dx. \]

Integrujeme totiž už podľa novej premennej.

Preto musíme zmeniť aj diferenciál:

\[ dt=g'(x)\,dx. \]

Napríklad

\[ t=x^3+1 \]

znamená

\[ dt=3x^2\,dx. \]

Výraz

\[ dx \]

teda nie je bezvýznamná ozdoba na konci integrálu. Informuje nás, podľa akej premennej integrujeme, a pri substitúcii sa s ním musí pracovať.

Zhrnutie

Neurčitý integrál nie je úplne nová matematická operácia odtrhnutá od derivácií.

Celá téma stojí na jednej myšlienke:

\[ \boxed{\text{integrovanie = hľadanie funkcie podľa jej derivácie}.} \]

Ak vieš derivácie dobre, integračné vzorce sú väčšinou iba derivácie čítané odzadu.

Napríklad

\[ (\sin x)'=\cos x \]

čítame odzadu ako

\[ \int\cos x\,dx=\sin x+C. \]

Rovnako

\[ (\ln|x|)'=\frac1x \]

dáva

\[ \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C. \]

A reťazové pravidlo

\[ (F(g(x)))' = F'(g(x))g'(x) \]

čítané odzadu dáva substitučnú metódu.

Otázka, ktorá pomáha pri integrovaní

Práve preto je pri integráloch často užitočnejšie položiť si otázku

„Čo by som musel zderivovať, aby som dostal toto?“

než snažiť sa naspamäť hľadať nejaký kúzelný integračný vzorec.