Integrovanie niektorých racionálnych funkcií

Racionálna funkcia je funkcia tvaru

\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]

kde \(P(x)\) a \(Q(x)\) sú polynómy.

Pri integrovaní racionálnych funkcií sa po algebraických úpravách a prípadnom rozklade na parciálne zlomky stále objavujú tie isté základné tvary. Nad reálnymi číslami sú dôležité najmä dva druhy faktorov v menovateli:

\[ (x-l)^k \]

a

\[ (x^2+px+q)^k, \qquad D=p^2-4q<0. \]

Prvý je mocnina lineárneho faktora. Druhý je mocnina kvadratického faktora, ktorý nemá reálne korene.

Práve z týchto dvoch situácií vznikne nasledujúcich osem typov.

I. typ — mocnina lineárneho faktora

Základný tvar typu I

\[ \boxed{\int \frac{A}{(x-l)^k}\,dx} \]

kde

\[ A,l\in\mathbb R,\qquad k\in\mathbb N. \]

Toto je základný typ pre lineárny faktor.

Musíme rozlišovať dve situácie.

Prípad \(k=1\)

Máme

\[ \int\frac{A}{x-l}\,dx. \]

Použijeme substitúciu

\[ t=x-l. \]

Potom

\[ dt=dx. \]

Integrál sa zmení na

\[ A\int\frac1t\,dt. \]

Použijeme vzorec

\[ \int\frac1t\,dt=\ln|t|+C. \]

Výsledok pri \(k=1\)

Preto

\[ \boxed{ \int\frac{A}{x-l}\,dx = A\ln|x-l|+C. } \]

Logaritmus sa objaví presne preto, že exponent menovateľa je \(1\), čiže po prepísaní mocninou máme \(t^{-1}\).

Prípad \(k>1\)

Máme

\[ \int\frac{A}{(x-l)^k}\,dx. \]

Opäť

\[ t=x-l, \qquad dt=dx. \]

Dostaneme

\[ A\int t^{-k}\,dt. \]

Použijeme mocninový vzorec

\[ \int t^\alpha\,dt = \frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C. \]

Tu

\[ \alpha=-k, \]

takže

\[ \alpha+1=1-k. \]

Dostaneme

\[ A\frac{t^{1-k}}{1-k}+C. \]

Výsledok pri \(k>1\)

Po návrate:

\[ \boxed{ \int\frac{A}{(x-l)^k}\,dx = \frac{A}{1-k}(x-l)^{1-k}+C. } \]

Často je prehľadnejší zápis

\[ \boxed{ -\frac{A}{(k-1)(x-l)^{k-1}}+C. } \]

Typ I teda máme kompletne vyriešený.

II. typ — súčet štvorcov

Základný tvar typu II

\[ \boxed{ \int\frac1{x^2+a^2}\,dx } \]

Toto je základný „arkustangensový“ integrál.

Vzorec typu II

Výsledkom bude

\[ \boxed{ \int\frac1{x^2+a^2}\,dx = \frac1a\arctan\frac xa+C, } \]

pre \(a>0\).

Dôležité je pochopiť, prečo.

Poznáme základný vzorec

\[ \int\frac1{1+t^2}\,dt=\arctan t+C. \]

Preto chceme výraz

\[ x^2+a^2 \]

upraviť tak, aby sa objavilo

\[ 1+t^2. \]

Vytkneme \(a^2\):

\[ x^2+a^2 = a^2\left( \frac{x^2}{a^2}+1 \right). \]

Teda

\[ x^2+a^2 = a^2 \left[ \left(\frac xa\right)^2+1 \right]. \]

Integrál je

\[ \int \frac1{ a^2\left[1+\left(\frac xa\right)^2\right] } \,dx = \frac1{a^2} \int \frac1{1+\left(\frac xa\right)^2} \,dx. \]

Položíme

\[ t=\frac xa. \]

Potom

\[ x=at \]

a

\[ dx=a\,dt. \]

Takže

\[ \frac1{a^2} \int \frac{a\,dt}{1+t^2} = \frac1a \int\frac1{1+t^2}\,dt. \]

A teda

\[ \boxed{ \frac1a\arctan t+C = \frac1a\arctan\frac xa+C. } \]

Typ II je veľmi dôležitý, pretože naň sa bude odvolávať typ III.

III. typ — všeobecný kvadratický menovateľ

Základný tvar typu III

\[ \boxed{ \int\frac1{x^2+px+q}\,dx, \qquad D=p^2-4q<0 } \]

Tu máme všeobecný kvadratický polynóm bez reálnych koreňov.

Cieľom je previesť ho na typ II.

Kľúčom je doplnenie na štvorec.

Máme

\[ x^2+px+q. \]

Vieme, že

\[ \left(x+\frac p2\right)^2 = x^2+px+\frac{p^2}{4}. \]

Preto

\[ x^2+px+q = x^2+px+\frac{p^2}{4} -\frac{p^2}{4} +q. \]

Teda

\[ \boxed{ x^2+px+q = \left(x+\frac p2\right)^2 + q-\frac{p^2}{4}. } \]

Pretože

\[ D=p^2-4q<0, \]

platí

\[ p^2<4q \]

a teda

\[ q-\frac{p^2}{4}>0. \]

Môžeme preto zaviesť

\[ a^2=q-\frac{p^2}{4}. \]

Potom

\[ a=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}. \]

Menovateľ má tvar

\[ \left(x+\frac p2\right)^2+a^2. \]

Položíme

\[ t=x+\frac p2. \]

Keďže ide iba o posunutie o konštantu,

\[ dt=dx. \]

Integrál sa zmení na

\[ \int\frac1{t^2+a^2}\,dt. \]

A toto už je presne typ II.

Preto

\[ \int\frac1{t^2+a^2}\,dt=\frac1a\arctan\frac ta+C. \]

Vzorec typu III

Po návrate

\[ \boxed{ \int\frac1{x^2+px+q}\,dx = \frac1{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}} \arctan \left( \frac{x+\frac p2} {\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}} \right) +C. } \]

Redukcia typu III na typ II

Podstatné teda nie je naučiť sa tento obrovský výsledok naspamäť.

Podstatné je vedieť:

\[ \boxed{\text{III. typ }\longrightarrow\text{ doplnenie na štvorec }\longrightarrow\text{ II. typ}.} \]

Typický príklad

Doplnenie na štvorec

\[ \int\frac1{x^2+2x+3}\,dx. \]

Doplníme štvorec:

\[ x^2+2x+3=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2. \]

Teda

\[ \int\frac1{(x+1)^2+2}\,dx. \]

Položíme

\[ t=x+1. \]

Dostaneme

\[ \int\frac1{t^2+2}\,dt. \]

Tu

\[ a=\sqrt2. \]

Preto podľa typu II

\[ \boxed{ \frac1{\sqrt2} \arctan \frac{x+1}{\sqrt2} +C. } \]

IV. typ — lineárny čitateľ

Základný tvar typu IV

\[ \boxed{ \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx, \qquad D<0 } \]

Tu máme v čitateli lineárny polynóm.

Vyrob deriváciu menovateľa

Najdôležitejšia myšlienka je:

v čitateli sa pokúsime vyrobiť deriváciu menovateľa.

Menovateľ je

\[ Q(x)=x^2+px+q. \]

Jeho derivácia je

\[ Q'(x)=2x+p. \]

Čitateľ je

\[ Mx+N. \]

Chceme ho preto prepísať pomocou \(2x+p\).

Platí

\[ Mx+N = \frac M2(2x+p) + N-\frac{Mp}{2}. \]

Naozaj:

\[ \frac M2(2x+p) = Mx+\frac{Mp}{2}, \]

takže

\[ Mx+\frac{Mp}{2} + N-\frac{Mp}{2} = Mx+N. \]

Integrál teda rozdelíme:

\[ \begin{aligned} \int \frac{Mx+N}{Q(x)}\,dx &=\frac M2 \int \frac{2x+p}{Q(x)}\,dx\\ &\quad+\left( N-\frac{Mp}{2} \right) \int \frac1{Q(x)}\,dx. \end{aligned} \]

Prvý integrál má tvar

\[ \int\frac{Q'(x)}{Q(x)}\,dx. \]

Preto

\[ \int\frac{Q'(x)}{Q(x)}\,dx = \ln|Q(x)|+C. \]

Pri našom prípade \(D<0\) a vedúcom koeficiente \(1\) je pritom

\[ Q(x)>0, \]

takže môžeme písať aj bez absolútnej hodnoty.

Druhý integrál je presne typ III.

Teda

\[ \boxed{ \text{IV. typ} = \text{logaritmická časť} + \text{III. typ}. } \]

Rozklad typu IV

Presnejšie

\[ \boxed{\begin{aligned} \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx ={}& \frac M2\ln(x^2+px+q)\\ &+\left(N-\frac{Mp}{2}\right) \int\frac1{x^2+px+q}\,dx \end{aligned}} \]

A posledný integrál už nanovo nerátame — použijeme výsledok typu III.

Príklad

Rozklad čitateľa na deriváciu menovateľa

\[ \int \frac{3x+4}{x^2+x+1}\,dx. \]

Derivácia menovateľa je

\[ 2x+1. \]

Čitateľ upravíme:

\[ 3x+4 = \frac32(2x+1)+\frac52. \]

Preto

\[ \begin{aligned} \int \frac{3x+4}{x^2+x+1}\,dx &=\frac32 \int \frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx\\ &\quad+\frac52 \int \frac1{x^2+x+1}\,dx. \end{aligned} \]

Prvá časť je

\[ \frac32\ln(x^2+x+1). \]

Druhá časť je typ III.

Pre

\[ x^2+x+1 = \left(x+\frac12\right)^2+\frac34 \]

dostávame

\[ \int\frac1{x^2+x+1}\,dx = \frac2{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}. \]

Celý výsledok:

\[ \boxed{ \frac32\ln(x^2+x+1) + \frac5{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3} +C. } \]

V. typ — derivácia výrazu v menovateli

Základný tvar typu V

Predpokladáme \(a>0\) a celé \(k\geq1\).

\[ \boxed{ \int \frac{x}{(x^2+a^2)^k}\,dx } \]

Tento typ je veľmi jednoduchý vďaka substitúcii

\[ t=x^2+a^2. \]

Derivácia je

\[ dt=2x\,dx. \]

Teda

\[ x\,dx=\frac12dt. \]

Dostávame

\[ \frac12\int\frac1{t^k}\,dt. \]

Znovu máme dva prípady.

Pre \(k=1\)

\[ \frac12\int\frac1t\,dt = \frac12\ln|t|+C. \]

Výsledok pri \(k=1\)

Keďže

\[ t=x^2+a^2>0, \]

môžeme písať

\[ \boxed{ \int\frac{x}{x^2+a^2}\,dx = \frac12\ln(x^2+a^2)+C. } \]

Pre \(k>1\)

\[ \frac12\int t^{-k}\,dt = \frac12 \frac{t^{1-k}}{1-k}+C. \]

Výsledok pri \(k>1\)

Teda

\[ \boxed{ \int \frac{x}{(x^2+a^2)^k}\,dx = \frac1{2(1-k)} (x^2+a^2)^{1-k}+C. } \]

Alebo ekvivalentne

\[ \boxed{ -\frac1{2(k-1)(x^2+a^2)^{k-1}}+C. } \]

Tento typ si treba pamätať hlavne preto, že sa bude používať v typoch VI a VIII.

VI. typ — mocnina súčtu štvorcov

Základný tvar typu VI

Predpokladáme \(a>0\) a celé \(k\geq1\).

\[ \boxed{ I_k= \int \frac1{(x^2+a^2)^k}\,dx } \]

Toto je podstatne zaujímavejší prípad.

Pre

\[ k=1 \]

už nič nové nerátame:

\[ I_1 = \int\frac1{x^2+a^2}\,dx, \]

čo je typ II.

Teda

\[ I_1 = \frac1a\arctan\frac xa+C. \]

Problém nastane pri

\[ k>1. \]

Prečo tu nestačí priama substitúcia

Tu nemôžeme jednoducho položiť

\[ t=x^2+a^2, \]

pretože by sme potrebovali v čitateli faktor \(x\,dx\), ktorý tam nemáme.

Preto sa odvodí rekurentný vzorec.

Rekurentný znamená, že integrál s exponentom \(k\) vyjadríme pomocou integrálu s exponentom \(k-1\).

Teda

\[ I_k \longrightarrow I_{k-1}. \]

A potom

\[ I_{k-1} \longrightarrow I_{k-2} \]

atď., až skončíme pri

\[ I_1, \]

ktorý už poznáme ako typ II.

Odvodenie rekurencie

Máme

\[ I_k = \int\frac1{(x^2+a^2)^k}\,dx. \]

Použijeme identitu

\[ a^2=x^2+a^2-x^2. \]

Teda

\[ 1= \frac{x^2+a^2-x^2}{a^2}. \]

Dosadíme:

\[ I_k = \frac1{a^2} \int \frac{x^2+a^2-x^2} {(x^2+a^2)^k} \,dx. \]

Rozdelíme:

\[ I_k = \frac1{a^2} \int \frac{x^2+a^2} {(x^2+a^2)^k} \,dx - \frac1{a^2} \int \frac{x^2} {(x^2+a^2)^k} \,dx. \]

V prvom integráli skrátime jednu mocninu:

\[ I_k=\frac1{a^2}I_{k-1} -\frac1{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^k}\,dx. \]

Druhý integrál upravíme ako

\[ \int x\cdot \frac{x}{(x^2+a^2)^k} \,dx. \]

A tu použijeme per partes.

Položíme

\[ u=x, \qquad du=dx. \]

Druhá časť je

\[ dv= \frac{x}{(x^2+a^2)^k}\,dx. \]

A tento integrál už poznáme z typu V.

Pre \(k>1\)

\[ v= -\frac1{2(k-1)(x^2+a^2)^{k-1}}. \]

Použijeme

\[ \int u\,dv = uv-\int v\,du. \]

Rekurentný vzorec typu VI

Po dosadení a úprave dostaneme rekurentný vzorec

\[ \boxed{ I_k = \frac{x} {2a^2(k-1)(x^2+a^2)^{k-1}} + \frac{2k-3} {2a^2(k-1)} I_{k-1}. } \]

Toto je hlavný výsledok typu VI.

Ako sa rekurencia používa

Výpočet \(I_2\) pomocou \(I_1\)

Napríklad

\[ I_2 = \int \frac1{(x^2+a^2)^2}\,dx. \]

Dosadíme \(k=2\):

\[ I_2 = \frac{x} {2a^2(x^2+a^2)} + \frac1{2a^2}I_1. \]

Ale

\[ I_1= \frac1a\arctan\frac xa. \]

Preto

\[ \boxed{ I_2 = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac1{2a^3}\arctan\frac xa +C. } \]

Ak by sme potrebovali \(I_3\), vyjadríme ho pomocou \(I_2\). Nie je potrebné celé odvodenie robiť odznova.

VII. typ — mocnina kvadratického menovateľa

Základný tvar typu VII

\[ \boxed{ \int \frac1{(x^2+px+q)^k}\,dx, \qquad D<0 } \]

Tento typ je vlastne všeobecnejšia verzia VI.

Cieľ je premeniť ho na typ VI.

Znova doplníme štvorec:

\[ x^2+px+q = \left(x+\frac p2\right)^2 + q-\frac{p^2}{4}. \]

Položíme

\[ a^2=q-\frac{p^2}{4} \]

a

\[ t=x+\frac p2. \]

Potom

\[ dt=dx. \]

Menovateľ sa zmení na

\[ (t^2+a^2)^k. \]

Teda

\[ \int \frac1{(x^2+px+q)^k}\,dx = \int \frac1{(t^2+a^2)^k}\,dt. \]

A pravá strana je presne typ VI.

Redukcia typu VII na typ VI

Takže:

\[ \boxed{ \text{VII. typ} \longrightarrow \text{doplnenie na štvorec} \longrightarrow \text{VI. typ}. } \]

Nič nové sa už neodvodzuje.

VIII. typ — lineárny čitateľ a mocnina menovateľa

Základný tvar typu VIII

\[ \boxed{ \int \frac{Mx+N} {(x^2+px+q)^k} \,dx, \qquad D<0 } \]

Toto je najvšeobecnejší z týchto ôsmich typov.

A zároveň je pekný tým, že sa už vlastne nerieši nič nové.

Prevedieme ho na typ V a typ VI.

Najprv doplníme štvorec v menovateli:

\[ x^2+px+q = \left(x+\frac p2\right)^2+a^2, \]

kde

\[ a^2=q-\frac{p^2}{4}. \]

Položíme

\[ t=x+\frac p2. \]

Potom

\[ x=t-\frac p2, \]

a

\[ dx=dt. \]

Čitateľ

\[ Mx+N \]

prepíšeme pomocou \(t\):

\[ Mx+N =M\left(t-\frac p2\right)+N =Mt-\frac{Mp}{2}+N =Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right). \]

Celý integrál preto dostane tvar

\[ \int \frac{ Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right) } {(t^2+a^2)^k} \,dt. \]

Rozdelíme ho:

\[ \begin{aligned} \int\frac{Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)}{(t^2+a^2)^k}\,dt &=M\int\frac{t}{(t^2+a^2)^k}\,dt\\ &\quad+\left(N-\frac{Mp}{2}\right) \int\frac1{(t^2+a^2)^k}\,dt. \end{aligned} \]

A teraz je pointa celej kapitoly:

Prvý integrál

\[ \int \frac{t}{(t^2+a^2)^k}\,dt \]

je typ V.

Druhý integrál

\[ \int \frac1{(t^2+a^2)^k}\,dt \]

je typ VI.

Redukcia typu VIII na typy V a VI

Takže typ VIII už nič nové neobsahuje:

\[ \boxed{ \text{VIII. typ} = M\cdot\text{V. typ} + \left( N-\frac{Mp}{2} \right)\cdot\text{VI. typ}. } \]

A práve preto tam už výpočet nemusí byť dokončený. Keď sa dostaneme do tohto bodu, matematicky sme problém vyriešili — zvyšok sú už známe predchádzajúce typy.

Ako spolu všetkých osem typov súvisí

Celá štruktúra je v skutočnosti veľmi logická:

Typ	Integrál	Na čo sa redukuje
I	\(\displaystyle \frac{A}{(x-l)^k}\)	priamo mocninový integrál alebo \(\ln\)
II	\(\displaystyle \frac1{x^2+a^2}\)	priamo \(\arctan\)
III	\(\displaystyle \frac1{x^2+px+q}\)	na II
IV	\(\displaystyle \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\)	logaritmus + III
V	\(\displaystyle \frac{x}{(x^2+a^2)^k}\)	jednoduchá substitúcia
VI	\(\displaystyle \frac1{(x^2+a^2)^k}\)	rekurencia, využíva V a končí pri II
VII	\(\displaystyle \frac1{(x^2+px+q)^k}\)	na VI
VIII	\(\displaystyle \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k}\)	na V + VI

Osem typov tvorí hierarchiu

A toto je podľa mňa najdôležitejšie pochopiť. Profesor v skutočnosti nevytvoril osem úplne nezávislých vzorcov. Vytvoril hierarchiu, kde sa čoraz všeobecnejšie prípady redukujú na tie jednoduchšie.

Najvyšší, VIII. typ, sa rozbije na V a VI. VI sa rekurenciou znižuje až na II. VII sa mení na VI. IV sa rozbije na logaritmus a III. III sa mení na II.

Takže pod tým všetkým je v skutočnosti len niekoľko základných mechanizmov: substitúcia, doplnenie na štvorec, derivácia menovateľa, logaritmus, arctan a rekurencia. To je omnoho príjemnejšie než predstava „osem brutálnych vzorcov naspamäť“.