Integrály goniometrických funkcií

Ďalšou významnou skupinou sú integrály

\[ \boxed{ \int R(\sin x,\cos x)\,dx, } \]

kde \(R\) je racionálna funkcia dvoch premenných.

Napríklad

\[ \frac{1}{3+\cos x-2\sin x} \]

je racionálna funkcia \(\sin x\) a \(\cos x\).

Weierstrassova substitúcia

Na takýto integrál existuje univerzálna substitúcia

\[ \boxed{ t=\tan\frac x2. } \]

Nazýva sa často univerzálna goniometrická substitúcia alebo Weierstrassova substitúcia.

Jej význam je obrovský: po nej sa \(\sin x\), \(\cos x\) aj \(dx\) zmenia na racionálne funkcie \(t\).

Platnosť substitúcie

\(t=\tan(x/2)\) používame na intervaloch, kde je definovaná. Pri zápise výsledku skontrolujeme aj prípadné body \(x=(2n+1)\pi\), ktoré táto substitúcia vynecháva.

Odvodenie vzorcov univerzálnej substitúcie

Máme

\[ t=\tan\frac x2. \]

Pre sínus použijeme identitu

\[ \sin x = 2\sin\frac x2\cos\frac x2. \]

Vydelíme čitateľ aj menovateľ výrazom \(\cos^2(x/2)\):

\[ \sin x = \frac{ 2\tan\frac x2 }{ 1+\tan^2\frac x2 }. \]

Preto

\[ \boxed{ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}. } \]

Pre kosínus použijeme

\[ \cos x = \cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2. \]

Po rovnakom vydelení dostávame

\[ \boxed{ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. } \]

Nakoniec potrebujeme \(dx\).

Zo

\[ t=\tan\frac x2 \]

derivujeme:

\[ dt = \frac12 \frac1{\cos^2(x/2)}dx. \]

Ale

\[ \frac1{\cos^2(x/2)} = 1+\tan^2\frac x2 = 1+t^2. \]

Teda

\[ dt=\frac12(1+t^2)\,dx. \]

Odtiaľ

\[ \boxed{ dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt. } \]

Vzorce po substitúcii

Súhrn transformačných vzorcov:

\[ \begin{aligned} t&=\tan\frac{x}{2}, &dx&=\frac{2}{1+t^2}\,dt,\\ \sin x&=\frac{2t}{1+t^2}, &\cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \end{aligned} \]

Po dosadení už máme iba racionálnu funkciu \(t\).

Príklad univerzálnej substitúcie

Integrál s \(\cos x-2\sin x+3\)

Vypočítajme

\[ \int \frac1{\cos x-2\sin x+3}\,dx. \]

Dosadíme

\[ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \]

\[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \]

\[ dx=\frac2{1+t^2}\,dt. \]

Menovateľ:

\[ \frac{1-t^2}{1+t^2} - 2\frac{2t}{1+t^2} + 3. \]

Trojku zapíšeme so spoločným menovateľom:

\[ 3=\frac{3(1+t^2)}{1+t^2}. \]

Po úprave menovateľa dostaneme

\[ \begin{aligned} \frac{1-t^2-4t+3+3t^2}{1+t^2} &= \frac{2t^2-4t+4}{1+t^2}\\ &= \frac{2(t^2-2t+2)}{1+t^2}. \end{aligned} \]

A

\[ t^2-2t+2=(t-1)^2+1. \]

Po dosadení a skrátení získame

\[ \begin{aligned} \int \frac{1}{\frac{2[(t-1)^2+1]}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}\,dt &= \int\frac{1}{(t-1)^2+1}\,dt. \end{aligned} \]

Položíme

\[ u=t-1. \]

Dostávame

\[ \int\frac1{u^2+1}\,du = \arctan u+C. \]

Preto

\[ \boxed{ \arctan\left(\tan\frac x2-1\right)+C. } \]

Komplikovaná goniometrická funkcia sa zmenila na obyčajný integrál typu

\[ \frac1{u^2+1}. \]

Ďalší príklad univerzálnej substitúcie

Integrál \(1/(1-\sin x)\)

Máme

\[ \int\frac1{1-\sin x}\,dx. \]

Použijeme

\[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad dx=\frac2{1+t^2}dt. \]

Potom

\[ 1-\sin x = 1-\frac{2t}{1+t^2} = \frac{1+t^2-2t}{1+t^2}. \]

Ale

\[ 1+t^2-2t=(t-1)^2. \]

Preto

\[ \int \frac1{1-\sin x}\,dx = 2\int\frac1{(t-1)^2}\,dt. \]

Teda

\[ 2\int\frac1{(t-1)^2}\,dt=-\frac2{t-1}+C. \]

Po návrate

\[ \boxed{ -\frac{2}{\tan(x/2)-1}+C. } \]

Tvar platný na celom definičnom obore pôvodného integrandu je

\[ \boxed{\int\frac{1}{1-\sin x}\,dx=\frac{\cos x}{1-\sin x}+C.} \]

Kde je navyše \(\cos x\ne 0\), môžeme písať aj \(\frac{\cos x}{1-\sin x}=\tan x+\sec x\). Na spoločnom definičnom obore sa tento tvar od \(-2/(\tan(x/2)-1)\) líši iba o konštantu.

Kedy použiť jednoduchšiu substitúciu

Najprv skús jednoduchšiu substitúciu

Substitúcia

\[ t=\tan\frac x2 \]

funguje na každú racionálnu funkciu \(\sin x,\cos x\), ale nie vždy je najrozumnejšia. Niekedy by sme si ňou z jednoduchého príkladu vyrobili zbytočne dlhší výpočet.

Ak sa integrál dá upraviť napríklad na

\[ \int f(\sin x)\cos x\,dx, \]

je omnoho jednoduchšie položiť

\[ t=\sin x, \qquad dt=\cos x\,dx. \]

Podobne pri tvare

\[ \int f(\cos x)\sin x\,dx \]

použijeme

\[ t=\cos x, \qquad dt=-\sin x\,dx. \]

Mocniny sínusu a kosínusu

\(\int\sin^2x\cos^3x\,dx\)

Typickým príkladom je

\[ \int\sin^2x\cos^3x\,dx. \]

Pri \(\cos^3x\) si jednu \(\cos x\) necháme pre diferenciál:

\[ \cos^3x = \cos^2x\cos x. \]

Použijeme identitu

\[ \cos^2x=1-\sin^2x. \]

Teda

\[ \int \sin^2x(1-\sin^2x)\cos x\,dx. \]

Teraz položíme

\[ t=\sin x, \qquad dt=\cos x\,dx. \]

Dostaneme

\[ \int t^2(1-t^2)\,dt. \]

Roznásobíme:

\[ \int(t^2-t^4)\,dt. \]

Preto

\[ \frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C. \]

Po návrate

\[ \boxed{ \frac{\sin^3x}{3} - \frac{\sin^5x}{5} +C. } \]

\(\int\cos^5x\,dx\)

Rovnaká myšlienka funguje napríklad pri

\[ \int\cos^5x\,dx. \]

Necháme si jednu \(\cos x\):

\[ \cos^5x = \cos^4x\cos x = (1-\sin^2x)^2\cos x. \]

Položíme

\[ t=\sin x. \]

Potom

\[ \int(1-t^2)^2\,dt = \int(1-2t^2+t^4)\,dt. \]

Teda

\[ \boxed{ \sin x -\frac23\sin^3x +\frac15\sin^5x +C. } \]

Prehľad substitúcií

Tvar integrandu	Užitočný krok
Racionálna funkcia \(\sin x\) a \(\cos x\)	\(t=\tan(x/2)\)
Objaví sa \(\cos x\,dx\) pri funkcii \(\sin x\)	\(t=\sin x\)
Objaví sa \(\sin x\,dx\) pri funkcii \(\cos x\)	\(t=\cos x\)

Spoločná myšlienka

Vhodnou substitúciou prevedieme integrál na racionálny integrál alebo iný známy typ.