Doplnenie k racionálnym funkciám

Kvadratický menovateľ a význam diskriminantu

Pri integráloch obsahujúcich kvadratický polynóm

\[ x^2+px+q \]

je rozhodujúci jeho diskriminant

\[ D=p^2-4q. \]

Podľa znamienka diskriminantu sa totiž menovateľ správa tromi úplne odlišnými spôsobmi.

\(D<0\): doplnenie na štvorec

Ak

\[ D<0, \]

kvadratický polynóm nemá reálne korene. Nemožno ho teda nad \(\mathbb R\) rozložiť na lineárne faktory. Doplníme ho na štvorec

\[ x^2+px+q = \left(x+\frac p2\right)^2+ q-\frac{p^2}{4} \]

a dostávame integrál typu

\[ \frac1{t^2+a^2}, \]

ktorý vedie na \(\arctan\).

\(D>0\): parciálne zlomky

Ak

\[ D>0, \]

existujú dva rôzne reálne korene \(x_1,x_2\), takže

\[ x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2). \]

Potom integrál riešime rozkladom na parciálne zlomky

\[ \frac1{(x-x_1)(x-x_2)} = \frac A{x-x_1}+\frac B{x-x_2}. \]

Výsledkom budú logaritmy.

\(D=0\): dvojnásobný koreň

Ak

\[ D=0, \]

existuje jeden dvojnásobný koreň \(x_0\):

\[ x^2+px+q=(x-x_0)^2. \]

Potom sme späť pri I. type racionálnych integrálov,

\[ \int\frac{A}{(x-x_0)^2}\,dx. \]

Diskriminant určuje metódu

Takže diskriminant tu nie je iba informácia o koreňoch kvadratickej rovnice. Hovorí nám priamo, akú integračnú metódu máme použiť.

Nerýdza racionálna funkcia

Pred rozkladom vykonaj delenie polynómov

Ak máme

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]

a

\[ \deg P\geq \deg Q, \]

najskôr musíme vykonať delenie polynómov. Až zvyšnú rýdzu racionálnu časť rozkladáme na parciálne zlomky.

Delenie polynómov a parciálne zlomky

Uvažujme napríklad

\[ \int \frac{x^3+x-1}{x^3+x}\,dx. \]

Čitateľ a menovateľ majú rovnaký stupeň. Preto najskôr vydelíme:

\[ x^3+x-1 = (x^3+x)-1. \]

Teda

\[ \frac{x^3+x-1}{x^3+x} = 1-\frac1{x^3+x}. \]

Menovateľ zlomku rozložíme:

\[ x^3+x=x(x^2+1). \]

Dostávame

\[ 1-\frac1{x(x^2+1)}. \]

Teraz rozložíme

\[ \frac1{x(x^2+1)} = \frac Ax+\frac{Bx+C}{x^2+1}. \]

Po vynásobení spoločným menovateľom:

\[ 1=A(x^2+1)+x(Bx+C). \]

Roznásobíme:

\[ 1=(A+B)x^2+Cx+A. \]

Porovnáme s

\[ 0x^2+0x+1. \]

Preto

\[ A+B=0,\qquad C=0,\qquad A=1. \]

Teda

\[ A=1,\qquad B=-1,\qquad C=0. \]

Máme

\[ \frac1{x(x^2+1)} = \frac1x-\frac{x}{x^2+1}. \]

Pôvodný integrál je teda

\[ \int \left( 1-\frac1x+\frac{x}{x^2+1} \right)dx. \]

Integrujeme:

\[ \int1\,dx=x, \]

\[ \int\frac1x\,dx=\ln|x|, \]

a pri poslednom integráli

\[ \int\frac{x}{x^2+1}\,dx \]

použijeme

\[ t=x^2+1,\qquad dt=2x\,dx. \]

Preto

\[ \int\frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac12\ln(x^2+1). \]

Výsledok je

\[ \boxed{ x-\ln|x| +\frac12\ln(x^2+1)+C. } \]

Toto je pekná ukážka celého postupu:

\[ \text{delenie polynómov} \rightarrow \text{parciálne zlomky} \rightarrow \text{známe integračné typy}. \]