Integrály s odmocninami

Teraz sa racionálne funkcie rozšíria o odmocniny.

Racionálna funkcia s odmocninami

Všeobecne môžeme mať integrál tvaru

\[ \int R\left( x, \sqrt[k_1]{\frac{ax+b}{cx+d}}, \sqrt[k_2]{\frac{ax+b}{cx+d}}, \ldots, \sqrt[k_m]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right)dx, \]

kde \(R\) označuje racionálnu funkciu svojich argumentov.

To znamená, že výrazy vo vnútri \(R\) môžeme medzi sebou sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť, ale nevyskytujú sa tam ďalšie operácie ako sínus, logaritmus a podobne.

Napríklad

\[ R(u,v_1,v_2) = \frac{3u+4v_1}{5v_2} \]

je racionálna funkcia premenných \(u,v_1,v_2\).

Po dosadení

\[ u=x, \]

\[ v_1= \sqrt[k_1]{\frac{ax+b}{cx+d}}, \qquad v_2= \sqrt[k_2]{\frac{ax+b}{cx+d}} \]

dostaneme konkrétnu funkciu premennej \(x\).

Cieľ substitúcie

Cieľom je odstrániť všetky odmocniny jednou substitúciou.

Spoločná substitúcia pre viac odmocnín

Predstavme si, že máme odmocniny stupňov

\[ k_1,k_2,\ldots,k_m. \]

Zoberieme ich najmenší spoločný násobok

\[ k=\operatorname{nsn}(k_1,k_2,\ldots,k_m). \]

Spoločná substitúcia

Potom položíme

\[ \boxed{ t^k=\frac{ax+b}{cx+d}. } \]

Prečo práve \(k\)?

Pretože \(k\) je deliteľný každým \(k_i\). Preto napríklad

\[ \sqrt[k_i]{\frac{ax+b}{cx+d}} = \sqrt[k_i]{t^k} = t^{k/k_i}, \]

pričom

\[ \frac{k}{k_i}\in\mathbb N. \]

Všetky odmocniny sa teda zmenia na celočíselné mocniny \(t\).

To je hlavná pointa substitúcie.

Voľba znamienka pri reálnych odmocninách

Ak je \(k\) párne, volíme \(t\geq 0\). Potom platí aj \(\sqrt[k_i]{t^k}=t^{k/k_i}\) pre párne stupne odmocnín. Pracujeme na intervaloch, kde sú pôvodné výrazy definované.

Vyjadrenie \(x\) a \(dx\)

Zo vzťahu

\[ t^k=\frac{ax+b}{cx+d} \]

vyjadríme \(x\).

Vynásobíme:

\[ t^k(cx+d)=ax+b. \]

Teda

\[ ct^kx+dt^k=ax+b. \]

Členy s \(x\) dáme na jednu stranu:

\[ (ct^k-a)x=b-dt^k. \]

Preto

\[ \boxed{ x=\frac{b-dt^k}{ct^k-a}. } \]

Aj \(x\) je teda racionálna funkcia premennej \(t\).

Po derivovaní dostaneme aj \(dx\) ako racionálnu funkciu \(t\):

\[ dx= \frac{k(ad-bc)t^{k-1}} {(ct^k-a)^2}\,dt. \]

Takže po substitúcii sú odmocniny, \(x\) aj \(dx\) racionálnymi výrazmi v \(t\).

Celý integrál sa preto zmení na obyčajný racionálny integrál

\[ \int R_1(t)\,dt. \]

A ten už riešime metódami, ktoré poznáme.

Príklad s druhou a treťou odmocninou

Spoločná substitúcia \(t^6=x+1\)

Uvažujme

\[ \int \frac{1} {\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{(x+1)^2}} \,dx. \]

Máme druhú a tretiu odmocninu. Najmenší spoločný násobok čísel \(2\) a \(3\) je

\[ 6. \]

Preto položíme

\[ t^6=x+1. \]

Teda

\[ x=t^6-1 \]

a

\[ dx=6t^5\,dt. \]

Teraz sa pozrime na odmocniny:

\[ \sqrt{x+1} = \sqrt{t^6} = t^3, \]

a

\[ \sqrt[3]{(x+1)^2} = \sqrt[3]{t^{12}} = t^4. \]

Celý integrál sa zmení na

\[ \int \frac{6t^5}{t^3-t^4}\,dt. \]

Vytkneme \(t^3\):

\[ \int \frac{6t^5}{t^3-t^4}\,dt = 6\int\frac{t^2}{1-t}\,dt. \]

A teraz už nemáme ani jednu odmocninu. Je to obyčajná racionálna funkcia.

Vykonáme delenie:

\[ \frac{t^2}{1-t} = -t-1+\frac1{1-t}. \]

Preto

\[ 6\int \left( -t-1+\frac1{1-t} \right)dt. \]

Dostávame

\[ -3t^2-6t-6\ln|1-t|+C. \]

Nakoniec

\[ t=(x+1)^{1/6}. \]

Výsledok je teda

\[ \boxed{ -3(x+1)^{1/3} -6(x+1)^{1/6} -6\ln\left|1-(x+1)^{1/6}\right| +C. } \]

Dôležitejší než výsledok je však postup:

\[ \boxed{ \text{NSN stupňov odmocnín} \rightarrow t^k=\text{spoločný výraz} \rightarrow \text{racionálna funkcia}. } \]

Odmocnina lineárne lomenej funkcie

Substitúcia \(t^2=(1+x)/(1-x)\)

Veľmi typický príklad je výraz

\[ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}. \]

Položíme

\[ t^2=\frac{1+x}{1-x}. \]

Potrebujeme vyjadriť \(x\).

\[ t^2(1-x)=1+x. \]

Roznásobíme:

\[ t^2-t^2x=1+x. \]

Členy s \(x\) presunieme:

\[ -t^2x-x=1-t^2. \]

Teda

\[ -x(t^2+1)=1-t^2 \]

a

\[ \boxed{ x=\frac{t^2-1}{t^2+1}. } \]

Derivujeme:

\[ dx= \frac{(2t)(t^2+1)-(t^2-1)(2t)} {(t^2+1)^2}\,dt. \]

V čitateli:

\[ 2t^3+2t-2t^3+2t=4t. \]

Preto

\[ \boxed{ dx=\frac{4t}{(1+t^2)^2}\,dt. } \]

A súčasne

\[ 1-x=\frac{2}{1+t^2}, \]

\[ 1+x=\frac{2t^2}{1+t^2}. \]

Takže každý výraz vytvorený z \(x\) a

\[ \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \]

sa po tejto substitúcii zmení na racionálnu funkciu \(t\).

Odmocniny samotného \(x\)

Ak integrál obsahuje iba výrazy

\[ x,\quad \sqrt[k_1]{x},\quad \sqrt[k_2]{x},\ldots, \]

postup je ešte jednoduchší.

Substitúcia \(x=t^k\)

Opäť nájdeme

\[ k=\operatorname{nsn}(k_1,\ldots,k_m) \]

a položíme

\[ \boxed{x=t^k}. \]

Potom

\[ dx=kt^{k-1}\,dt \]

a každá odmocnina sa zmení na celočíselnú mocninu:

\[ \sqrt[k_i]{x} = t^{k/k_i}. \]

Príklad s odmocninami \(x\)

Druhá a tretia odmocnina z \(x\)

Uvažujme

\[ \int \frac{\sqrt{x}} {\sqrt[3]{x}+1}\,dx. \]

Máme druhú a tretiu odmocninu, takže

\[ k=\operatorname{nsn}(2,3)=6. \]

Položíme

\[ x=t^6. \]

Potom

\[ dx=6t^5\,dt, \]

\[ \sqrt{x}=t^3, \]

\[ \sqrt[3]{x}=t^2. \]

Integrál je

\[ 6\int \frac{t^8}{t^2+1}\,dt. \]

Teraz vykonáme delenie polynómov:

\[ \frac{t^8}{t^2+1} = t^6-t^4+t^2-1+\frac1{t^2+1}. \]

Preto

\[ 6\int \left( t^6-t^4+t^2-1+\frac1{t^2+1} \right)dt. \]

Dostávame

\[ 6\left( \frac{t^7}{7} -\frac{t^5}{5} +\frac{t^3}{3} -t +\arctan t \right)+C. \]

Nakoniec dosadíme \(t=x^{1/6}\):

\[ \begin{aligned} \int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}+1}\,dx ={}& \frac67x^{7/6}-\frac65x^{5/6}\\ &+2\sqrt{x}-6x^{1/6}+6\arctan(x^{1/6})+C. \end{aligned} \]

Opäť sme komplikovaný integrál s odmocninami zredukovali na obyčajnú racionálnu funkciu.

Prehľad substitúcií

Tvar integrandu	Užitočný krok
Odmocniny \(\sqrt[k_i]{(ax+b)/(cx+d)}\)	\(k=\operatorname{nsn}(k_1,\ldots,k_m)\), potom \(t^k=(ax+b)/(cx+d)\)
Odmocniny \(\sqrt[k_i]{x}\)	\(k=\operatorname{nsn}(k_1,\ldots,k_m)\), potom \(x=t^k\)

Spoločná myšlienka

Vhodnou substitúciou prevedieme integrál na racionálny integrál alebo iný známy typ.